Лекция 14. Основные распределения в математической статистике

1. Распределение хи-квадрат

Определение 1.   Пусть U_k, k = 1,n, - набор из n независимых нормально распределенных СВ, U_k ~ N(0,1). Тогда СВ

X

Δ =

n  ∑  k=1

Uk2

имеет распределение хи-квадрат (χ²-распределение) с n степенями свободы, что обозначается X ~ X²(n).

Замечание 1.   СВ X имеет следующую плотность распределения:

fX(x)=

{

1 2(n/2)Γ(n/2)  0

x(n/2)-1e-x/2

, ,

x ≥ 0, x < 0,

где

Γ(m)

Δ =

+∞  ∫  0

ym-1e-y dy - гамма-функция.

Графики функции f_X(x) (см. рис. 1), называемые кривыми Пирсона, асимметричны и, начиная с n ≥ 2, имеют один максимум в точке x = n - 2.

Рисунок 1.

Замечание 2.   Характеристическая функция СВ X имеет вид:

gX(t) =

+∞   ∫  -∞

fX(x)eitx dx = (1 - 2ti)-n/2.

Начальные моменты СВ X находятся по свойству 3)g_X(t):

ν1 =

1  i

d dt

g(t)

|

t =0

= -

n  2i

(-2i)(1 - 2ti)-(n/2)-1

|

t =0

= n,

ν2 =

1  i2

d2 dt2

g(t)

|

t =0

=

n  i

(-2i)(-

n  2

- 1)(1 - 2ti)-(n/2)-2

|

t =0

= n2+2n,

D[X] = ν2 - ν12 = n2 + 2n - n2 = 2n.

Замечание 3.   Сумма любого числа m независимых СВ X_k, k = 1,m , имеющих распределение хи-квадрат с n_k степенями свободы также имеет распределение хи-квадрат с

n

Δ =

n  ∑  k=1

nk

степенями свободы. Это можно доказать, используя свойства характеристической функции.

Замечание 4.   Распределение хи-квадрат имеет многочисленные приложения в математической статистике.

2. Распределение Стьюдента

Определение 1.   Пусть U и X - независимые СВ, U ~ N(0,1), X ~ X²(n). Тогда СВ

T

Δ =

U√n / X

имеет распределение Стьюдента с n степенями свободы, что обозначают как T ~ S(n). СВ T имеет плотность распределения

fT(x) =

Γ((n+1)/2) √nπ Γ(n/2)

(1+

x2  n

)-(n+1)/2 .

Замечание 1.   Графики функции f_T(x) (рис.2), называемые кривыми Стьюдента, симметричны при всех n = 1,2,... относительно оси ординат.

Замечание 2.   Можно показать, что при n → ∞ плотность вероятности распределения СВ T ~ S(n) сходится к плотности вероятности стандартного нормального распределения N(0,1), т.е.

fT(x) →

1 √2π

exp(-x2 / 2) ,   n → ∞ .

Действительно, пусть n = 2m. Тогда

(1+

x2  n

)-(n+1)/2  = (1 +

x2 2m

)-m-(1/2) .

Если n → ∞ и m→ ∞, то согласно известному замечательному пределу получим

(1+

x2 2m

)-1/2 (1+

x2 2m

)-m  → exp{-x2/2}.

Таким образом,

fT(x) → k exp{-x2/2} при n → ∞.

Так как f_T(x) удовлетворяет условию нормировки, то и предельная функция должна удовлетворять условию нормировки, т.е. являться плотностью. Поэтому из условия нормировки плотности получаем

Γ((n+1)/2) √nπ Γ(n/2)

→ k =

1 √2π

при n → ∞.

При n > 30 распределение Стьюдента практически не отличается от N(0,1). Однако при n ≤ 30 отличия существенны.

Замечание 3.   При n = 1 распределение Стьюдента S(1) совпадает с распределением Коши, плотность которого равна

f(x) =

1  π

1 1+x2

,

т.к. при n = 1 имеем Γ(1/2) = 1 / √π, Γ(1) = 1. Особенность распределения Коши состоит в том, что у него нет ни одного начального момента ν_r, r ≥ 1, так как расходятся несобственные интегралы

νr

Δ =

1  π

∞   ∫   -∞

xr x2+1

dx.

Любопытно, если попробовать вычислить МО M[T] СВ T, имеющей распределение Коши, как предел значений определенного интеграла на отрезке [-a,a], то можно получить неверный ответ:

l i m n→∞

1  π

a   ∫   -a

x x2+1

dx = 0 .

3. Распределение Фишера

Определение 1.   Пусть независимые СВ X_n и X_m имеют распределения хи-квадрат с n и m степенями свободы соответственно. Тогда СВ

X

Δ =

Xn / Xm

имеет распределение Фишера с n и m степенями свободы, что записывают как X ~ F(n,m).

Замечание 1.   СВ X имеет плотность f_X(x) = 0 при x < 0 и

fX(x) =

Γ((n+m)/2) Γ(n/2)Γ(m/2)

nn/2mm/2

x(n/2)-1 (m+nx)(n+m)/2

,   x ≥ 0.

Графики функции f_X(x) (см. рис.3), называемые кривыми Фишера , асимметричны и достигают максимальных значений в окрестности точки

x =

(n-2)m (m+2)n

,

близкой к единице.

Рисунок 3.

Замечание 2.   Распределение Фишера используют, например, при сравнении выборочных дисперсий для нормальных СВ. В частности, распределение F(n,m) имеет следующая СВ:

X

Δ =

[

1 n

n+1  ∑  k=1

(Xk -

^ MX

)2] / [

1 m

m+1  ∑  k=1

(Yk -

^ MY

)2] ,

где СВ X₁, ... , X_n+1 , Y₁, ... , Y_m+1 - независимы и имеют нормальное распределение: X_i ~ N(m_X,σ), Y_i ~ N(m_Y,σ).

Лекция 15.
Оглавление