Лекция 13. Основные выборочные характеристики

1. Выборочная функция распределения

Замечание 1.   Математическая статистика - это наука o математических методах, позволяющих по статистическим данным (реализациям СВ) построить теоретико-вероятностную модель исследуемого явления. Задачи математической статистики являются, в некотором смысле, обратными к задачам теории вероятностей. Центральным понятием математической статистики является выборка.

Определение 1.   Случайной выборкой (выборкой) объема n называется случайный вектор

Zn

Δ =

col(X1, ... , Xn),

где СВ X_i, i = 1,n являются независимыми и одинаково распределенными с функцией распределения

F(x)

Δ = FX.

Будем говорить, что выборка Z_n соответствует функции распределения F(x).

Замечание 2.   В определении 1 выборка Z_n рассматривается априорно (до опыта) и поэтому является случайным вектором. Если же рассматривать выборку апостериорно (после опыта), то она будет уже реализацией многомерной СВ Z_n, т.е. неслучайным вектором

zn

Δ =

col(x1, ... , xn)

Из определения 1 вытекает, что апостериорную выборку z_n можно также рассматривать как набор x₁, ... , x_n из n реализаций одной и той же СВ в серии из n независимых одинаковых опытов.

Пример 1.   Пусть требуется определить неизвестную долю белых шаров в урне. По схеме случайного выбора с возвращением отобрано n шаров. Будем считать, что реализация x_k СВ X_k равна 1, если k-ый выбранный шар оказался белым и x_n = 0 в противном случае. Здесь СВ X_k независимы и одинаково распределены, причем вероятность p того, что будет извлечен белый шар

p

Δ =

P{Xk = 1},

равна по величине доле белых шаров в урне. Соответственно вероятность того, что будет извлечен черный шар

q

Δ =

P{Xk = 0},

равна q = 1 - p. Таким образом, выборка

Zn

Δ =

col(X1, ... , Xn)

соответствует распределению Бернулли. Пусть значения p и q априори (до опыта) неизвестны. В соответствии с теоремой Бернулли (Л10.Р2.Т5) доля белых шаров p в выборке может быть оценена с помощью СВ

^ p

Δ =

1 n

n  ∑  k=1

Xk,

которая формируется по выборке

Zn

Δ =

col(X1, ... , Xn).

Однако, если выборка Z_n уже реализовалась как

zn

Δ =

col(x1, ... , xn),

то апостериорная (после опыта) оценка

p

Δ =

1 n

n  ∑  k=1

xk,

является неслучайной величиной, т.е. реализацией СВ

^ p,

причем такой, что p ≈ p, если n достаточно велико.

Замечание 3.   Одна из основных задач математической статистики состоит в вычислении статистических характеристик изучаемой СВ на основе информации, содержащейся в выборке.

Определение 2.   Если апостериорную выборку x₁, ... , x_n располагать не в порядке ее получения (нижний индекс), а в порядке возрастания полученных значений (верхний индекс) x⁽¹⁾ ≤ x⁽²⁾ ≤ ... ≤ x⁽ⁿ⁾, то получим упорядоченный ряд апостериорной выборки. Если теперь обозначить через X^(k), k = 1,n, случайные величины, которые при каждой реализации z_n априорной выборки Z_n принимают k-ые (по верхнему номеру) значения x^(k), то получим упорядоченную последовательность СВ X⁽¹⁾ ≤ ... ≤ X⁽ⁿ⁾, называемую вариационным рядом выборки.

Определение 4.   Пусть x - произвольная точка на оси Ox, а M(x) - случайное число элементов априорной выборки объема n, попавших не правее точки x. Таким образом, если x⁽¹⁾ ≤ ... ≤ x^(i-1) ≤ x ≤ x⁽ⁱ⁾ ≤ ... ≤ x⁽ⁿ⁾, то реализация СВ M(x) равна m(x) = i-1, где m(x) - конкретное число элементов из реализации x⁽¹⁾, ... , x⁽ⁿ⁾ вариационного ряда, попавших левее точки x. Частота

^ Fn

Δ =

M(x)/n

называется выборочной функцией распределения, а реализация

Fn

Δ =

m(x)/n

выборочной функции

^ Fn(x)

оказывается ступенчатой функцией (рис. 1).

Рисунок 1.

Замечание 4.   Выборочная функция распределения

^ Fn(x)

в каждой точке x является оценкой соответствующего значения функции распределения F(x) СВ X. В силу усиленного закона больших чисел (теорема Бернулли) при n → +∞ последовательность СВ

^ Fn(x)

в каждой точке x О R¹ сходится почти наверное к значению функции F(x). Действительно, с каждой СВ X_k, k = 1,n, свяжем два события {X_k ≤ x} и {X_k > x}. Так как все СВ X_k имеют одно и то же распределение F(x), то вероятности таких событий равны

p

Δ =

P{Xk ≤ x}

Δ =

F(x),   q

Δ =

P{Xk > x} = 1 - F(x).

Если событие {X_k ≤ x} назвать успехом, то M(x) (число элементов выборки левее x) есть число успехов в серии из n независимых испытаний. В рассматриваемом случае СВ

^ Fn

Δ =

M(x)/n

есть частота успехов. Тогда по теореме Бернулли (Л10.Р2.Т5) получаем, что

^ Fn

п.н. →

F(x).

2. Гистограмма

Замечание 1.   Рассмотрим процедуру группировки выборки. Для этого разделим точками α₀, ... , α_j+1 действительную ось R¹ = (-∞,+∞) на

L

Δ =

j+1

непересекающихся полуинтервалов (разрядов) Δ_k = (α_k,α_k+1], k = 0,j, таким образом, что -∞ = α₀ < α₁ < ... < α_j < α_j+1 = +∞,   α₁ < x⁽¹⁾,   α_j > x⁽ⁿ⁾. Для каждого k-го разряда Δ_k, k = 1,j-1, вычислим частоту попадания элементов выборки в этот разряд. Получаем

pk

Δ =

mk / n,

где m_k - число элементов выборки z_n, попавших в k-ый разряд.

Определение 1.   Последовательность детерминированных величин p_k, k = 1, j-1 , называется статистическим рядом, а его реализация представляется в виде таблицы:

(α1,α2]	...	(αj-1,αj]
p1	...	pj-1

Определение 2.   Изобразим графически статистический ряд. На оси Ox отложим разряды и на них, как на основании, построим прямоугольники, имеющие площадь p_k. Полученная ступенчатая функция f_n называется гистограммой рис.2.

Замечание 2.   На интервалах (-∞,α₁] и [α_j,+∞) построить такие прямоугольники нельзя, так как α₁ < x⁽¹⁾, α_j < x⁽ⁿ⁾. Необходимость введения разрядов Δ₀ и Δ_j будет ясна из лекции 16.

3. Выборочные среднее и дисперсия

Определение 1.   Для выборки объема n выборочными начальными и центральными моментами порядка r (r = 1,2,...) называются соответственно СВ

^ νr

Δ =

1 n

n  ∑  k=1

(Xk)r ,

^ μr

Δ =

1 n

n  ∑  k=1

(Xk-

^ ν1

)r .

Определение 2.   Выборочным средним и выборочной дисперсией называются соответственно

^ MX

Δ =

^ ν1

Δ =

1 n

n  ∑  k=1

Xk ,

^ DX

Δ =

^ μ2

Δ =

1 n

n  ∑  k=1

(Xk-

^ MX

)2 .

Замечание 1.   При достаточно общих предположениях о виде неизвестной функции распределения F(x) выборочные моменты близки к соответствующим теоретическим характеристикам ν_r, μ_r.

С в о й с т в а

^        ^ Mx и Dx :

1)  

M[

^ MX

] = mX ,

где

mX

Δ =

M[X].

Действительно, по определению

M[

^ MX]

Δ =

M[

1 n

n  ∑  k=1

Xk]

2)mx   =

1  n

M[

n  ∑  k=1

Xk] = mX .

2)  

D[

^ MX

] = dX / n ,

где

dX

Δ =

D[X].

Имеем:

D[

^ MX]

Δ =

D[

1 n

n  ∑  k=1

Xk]

7)mx   =

1  n2

D[

n  ∑  k=1

Xk]

4)M[X]     =

1  n2

n  ∑  k=1

D[Xk] =

dX   n

.

3)  

M[

^ DX] =

n-1   n

DX .

Действительно:

M[

^ DX]

Δ =

M[

1 n

n  ∑  k=1

(Xk -

^ MX

)2]

Δ =

1 n

M[

n  ∑  k=1

(Xk -

1 n

n  ∑  i=1

Xi)2]

1)M[X]     =

=

1 n

n  ∑  k=1

M[(Xk -

1 n

n  ∑  i=1

Xi)2] =

1 n

n  ∑  k=1

M[(Xk - mX -

1 n

n  ∑  i=1

(Xi - mX))2]=

=

1 n

n  ∑  k=1

M[(

n-1   n

(Xk - mX) -

1 n

∑   i≠k

(Xi - mX))2]

4)M[X]     =

=

1 n

n  ∑  k=1

(

(n-1)2     n2

dX +

n-1   n2

dX) =

n-1   n

dX .

Замечание 2.   Таким образом, МО выборочного среднего совпадает с МО СВ X, а МО выборочной дисперсии

^ DX

не совпадает с дисперсией d_X СВ X. В этом смысле СВ

^ DX

является смещенной оценкой d_X. Поэтому часто вместо

^ DX

используют несмещенную оценку дисперсии

^ SX

Δ =

n n-1

^ DX .

Определение 3.   Несмещенной выборочной дисперсией называется СВ:

^ SX

Δ =

1 n-1

n  ∑  k=1

(Xk-

^ MX

)2 =

n n-1

^ DX .

4)  

M[

^ SX

] = dX .

Действительно,

M[

^ SX

] =

n n-1

M[

^ DX

]

^ 3)M[X]     =

dX .

Лекция 14.
Оглавление