Лекция 16. Статистическая проверка гипотез

1. Основные понятия

Определение 1.   Статистическими гипотезами называются любые предположения относительно закона распределения СВ X, проверяемые по выборке Z_n.

Пример 1.   По выборке Z_n требуется проверить гипотезу H₀ о том, что m_X= m, где m - некоторое фиксированное число.

Определение 2.   Статистикой называется произвольная функция Z = φ(Z_n) выборки Z_n, для значений которой известны условные плотности распределения f(z|H₀) и f(z|H₁) относительно проверяемой гипотезы H₀ и конкурирующей с ней альтернативной гипотезы H₁.

Замечание 1.   Из определения 2 следует, что Z есть СВ. Практическое применение математической статистики состоит в проверке соответствия результатов экспериментов предполагаемой гипотезе. С этой целью строится процедура (правило) проверки гипотезы.

Определение 3.   Критерием согласия называется правило, в соответствии с которым по реализации

z

Δ =

φ(zn)

статистики Z, вычисленной на основании апостериорной выборки z_n, гипотеза H₀ принимается или отвергается.

Определение 4.   Критической областью G называется область реализаций z статистики Z, при которых гипотеза H₀ отвергается.

Определение 5.   Доверительной областью G называется область значений z статистики Z, при которых гипотеза H₀ принимается.

Определение 6.   Уровнем значимости p критерия согласия называется вероятность события, стоящего в том, что гипотеза H₀ отвергается, когда она верна, т.е.

p

Δ =

P{Z О G|H0} ,

где вероятность P соответствует условной плотности распределения f(z|H₀).

Определение 7.   Мощностью γ критерия согласия называется вероятность события, состоящего в том, что гипотеза H₀ отвергается, когда она неверна, т.е.

γ

Δ =

P{Z О G|H1} ,

где вероятность P соответствует условной плотности f(z|H₁).

Определение 8.   Критической точкой z_β называется точка на оси Oz, являющаяся квантилью уровня

β

Δ =

1 - p

распределения F(z|H₀), соответствующего плотности распределения f(z|H₀).

Замечание 2.   На рис.1 показана графическая интерпретация введенных понятий, где β + p = 1, δ + γ = 1.

Замечание 3.   В качестве критерия согласия примем правило:
    1)   если значение

z

Δ =

φ(zn)

статистики Z = φ(Z_n) лежит в критической области G, то гипотеза H₀ отвергается и принимается альтернативная гипотеза H₁;
    2)   если реализация

z

Δ =

φ(zn)

статистики Z = φ(Z_n) лежит в доверительной области G, то гипотеза H₀ принимается.
При реализации данного правила могут возникнуть ошибки двух видов.

Определение 9.   Ошибкой 1-го рода называется событие, состоящее в том, что гипотеза H₀ отвергается, когда она верна. Вероятность этой ошибки равна

p

Δ =

P{Z О G|H0} .

Определение 10.   Ошибкой 2-го рода называется событие, состоящее в том, что гипотеза H₀ принимается, когда она неверна. Вероятность этой ошибки равна

δ

Δ =

P{Z О G|H1} = 1 - γ .

Замечание 4.   Из рисунка видно, что с уменьшением вероятности p ошибки 1-го рода возрастает вероятность ошибки 2-го рода и наоборот, т.е. при выборе критической и доверительной областей должен достигаться определенный компромисс.

2. Проверка гипотезы о значении параметров нормального распределения

Замечание 1.   Пусть известно, что СВ X имеет нормальное распределение. Требуется проверить гипотезу H₀, состоящую в том, что m_X = m (m - некоторое фиксированное число), используя апостериорную выборку z_n. Возможны два случая: дисперсия (σ_X)² известна или неизвестна.

Предполо- жение	Статистика Z критерия согласия	Распре- деление	Доверительная область G принятия гипотезы Н0
σX известно	^ (MX - m)√n       σX	N(0,1)	[-uα , uα]
σX неизвестно	^ (MX - m)√n-1            ^         √DX	S(n-1)	[-tα(n - 1) , tα(n - 1)]

Для каждого случая в соответствии с примерами Л15.Р4.П1 и Л15.Р4.П2 получаем свой критерий согласия. (ниже u_α, t_α(n - 1) - квантили уровня

α

Δ =

1 - p / 2

распределений N(0,1) и S(n-1) соответственно).

Замечание 2.   Пусть СВ X нормально распределена, но ее дисперсия неизвестна. Требуется проверить гипотезу H₀, что σ_X = σ (σ - некоторое фиксированное число), на основе апостериорной выборки z_n. Возможны два случая: m_X - известно или m_X - неизвестно (ниже χ_α(k), χ_1-α(k) - квантили уровня α и 1-α распределения Χ²(k) с k степенями свободы,

α

Δ =

1 - p / 2 для k = n,n-1) :

Предпо- ложение	Статистика Z критерия согласия	Распре- деление	Доверительная область G принятия гипотезы Н0
mX известно	n  ∑(Xk - mX)2  k=1       σ2	Χ2(n)	[-χ1-α(n) , χα(n)]
mX неизвестно	^     nDX        σ2	Χ2(n-1)	[-χ1-α(n-1) , χα(n-1)]

Замечание 3.   На практике обычно задают p О [0.01 , 0.05].

3. Проверка гипотезы о законе распределения случайной величины

Замечание 1.   Пусть имеется апостериорная выборка z_n и требуется проверить гипотезу H₀, состоящую в том, что непрерывная СВ X имеет определенный закон распределения f(x) (например, нормальный, равномерный и т.д.). Истинный закон распределения f(x) неизвестен. Для проверки такой гипотезы обычно используют критерий согласия хи-квадрат (критерий Пирсона). Правило проверки состоит в следующем:
    1.   Формулируется гипотеза H₀, состоящая в том, что СВ X имеет плотность распределения определенного вида f(x,θ₁, ... , θ_s) с s неизвестными параметрами θ₁, ... , θ_s(например, m и σ для нормального распределения, a и b - для равномерного и т.д.)
    2.   По апостериорной выборке z_n методом максимального правдоподобия (или методом наименьших квадратов) находятся оценки

^ θ1, ... ,

^ θs

неизвестных параметров θ₁, ... , θ_s
    3.   Действительная ось R¹ разбивается на j + 1 непересекающихся полуинтервалов Δ₀, ... , Δ_j так, как это сделано в Л13.Р2.31 при построении гистограммы. Подсчитывается число n_k элементов выборки, попавших в каждый полуинтервал Δ_k , k = 1, j-1, кроме Δ₀ и Δ_j.
    4.   Вычисляются вероятности p_k попадания СВ X в полуинтервалы Δ_k , k = 0, j , по формуле

pk =

αk+1  ∫ αk

f(x,

^ θ1, .... ,

^ θs) dx ,

где α₀ = -∞, α_j+1 = +∞. Для разрядов Δ_k , k = 1,j-1 значения p_k можно вычислить приближенно по формуле

pk @ f(xk,

^ θ1, .... ,

^ θs)(αk+1-αk),

где

xk

Δ =

(αk+1 + αk) / 2

- середина разряда Δ_k.
    5.   Вычисляется реализация статистики критерия хи-квадрат по формуле

z

Δ =

φ(zn)

Δ = np0 +

j-1  ∑  k=1

(nk-npk)2 / (npk) + (npj) .

    6.   В соответствии с критерием согласия хи-квадрат гипотеза H₀ принимается (т.е. она согласуется с выборкой z_n), если φ(z_n) ≤ χ_1-p(j-s), где χ_1-p(j-s) - квантиль уровня 1-p распределения хи-квадрат с (j-s) степенью свободы, p - заданный уровень значимости (обычно p = 0.05), s - количество неизвестных параметров предполагаемого закона распределения f(x,θ₁, ... , θ_s). Если же φ(z_n) > χ_1-p(j-s), то гипотеза H₀ отвергается.

Замечание 2.   При разбиении на полуинтервалы Δ_k, необходимо учитывать, чтобы np_k ≥ 5 для k = 1, j-1 . В противном случае (np_k < 5) соседние полуинтервалы объединяются.

Оглавление