Типовая задача 1.2

При решении задач раздела 1.2 приходится иметь дело с перестановками n элементов. Число всех перестановок обозначим как P_n. оно вычисляется по формуле

Задача 1.   m белых и n чёрных шаров располагаются случайно в ряд. Какова вероятность того, что на k-месте окажется белый шар?

Решение.   Занумеруем все рассматриваемые шары, сделав их различимыми. Тогда опыт, описываемый в данной задаче, заключается в случайной расстановке (m + n) различных шаров; он имеет следующее число случаев:

В нашем распоряжении m белых шаров. Выбрав один из них (это можно сделать m способами) и поместив его на k-м месте, оставшиеся m + n -1 шаров можно расположить как угодно на свободных m + n -1 местах. А это можно сделать (m + n -1)! способами. Поэтому расположить все m + n шаров с белым шаром на k-м месте (событие A) можно следующим числом способов:

Таким образом, в соответствии с классической формулой

P(A) =

M N

=

m(m+n-1)!     (m+n)!

=

m m+n

.

Полученная вероятность совпадает с вероятностью вытаскивания белого шара из урны с m белыми и n чёрными шарами. Видно, что ответ не зависит от k. Это нетрудно было предвидеть, поскольку на заданном месте с одинаковой возможностью может появиться любой из m + n имеющихся шаров.

Выход в меню занятия