Типовые задачи 5.2

Задача 1.   В первой урне 10 белых и 20 чёрнёх шаров, во второй - 10 белых и 10 чёрных шаров. Из первой урны наугад извлекают 4 шара, из второй - 6 шаров; эти шары ссыпают в третью, пустую урну. Какова вероятность того, что шар, извлечённый и третьей урны, окажется белым ?

Решение.   Конечно, можно перебрать все комбинации белых и чёрных шаров, извлечённых из первой и второй урн, установив тем самым содержимое третьей урны. Однако такой путь связан с рассмотрением слишком большого числа гипотез.
В данном случае можно обойтись всего лишь двумя гипотезами:
H1 - извлечённый из 3 - й урны шар первоначально находился в 1 - й урне;
H2 - извлечённый из 3 - й урны шар первоначально находился во 2 - й урне.
Очевидно, что

P(H1) =
 4
10
,   P(H2) =
 6
10
.
Пусть A - событие, состоящее в том, что шар, извлечённый из 3 - й урны, является белым. Тогда

P(A|H1) =
10
30
,   P(A|H2) =
10
20
.
Следовательно, по формуле полной вероятности

P(A) =
10
30
 4
10
+
10
20
 6
10
=
13
30
.


Задача 2.   Двое поочерёдно подбрасывают монету. Выигрывает тот, у кого раньше вепадет "герб". Нати вероятность выигрыша для каждого игрока.

Решение.   Эта задача уже рассматривалась в занятии 4 (см. типовую задачу 4.2.1). Её решение позволяет лучше понять вероятностные свойства задачи и указать довольно нестандартные возможности применения формулы полной вероятности.
Вероятности логически возможных исходов данной игры: ничья (A0), выигрывает первый игрок (A1), выигрывает второй игрок (A2) - обозначим p0, p1, p2 соответственно.
Введём в рассмотрение две гипотезы, связанные с результатом первого подбрасывания монеты - выпадение "герба" (гипотеза H1) и выпадение "решки" (гипотеза H2).
Для упрощения задачи сразу же докажем, что p0 = 0 (то есть ничья в данной игре практически исключена). Имеем

A0 = A0H2,

p0 = P(A0) = P(A0H2) = P(H2)P(A0|H2) =
1
2
p0.
Итак, p0 = 1/2 p0, откуда p0 = 0.
Для нахождения p1 применим формулу полной вероятности:
p1 = P(A1)P(A1|H1) + P(H2)P(A1|H2).
Очевидно, что

P(H1) = P(H2) =
1
2
, P(A1|H1) = 1 , P(A1|H2) = 1 - p1
(после того как при первом подбрасывании монеты выпадает "решка", игра как бы начинается заново с той лишь разницей, что первый игрок выступает далее в роли второго игрока и наоборот). Таким образом,

p1 =
1
2
1 +
1
2
(1 - p1).
Отсюда получаем p1 = 2/3 и, следовательно, p2 = 1/3 .


Выход в меню занятия

Hosted by uCoz