Типовая задача 12.2

Задача 1.   Пусть {X_n} - последовательность независимых и одинаково распределенных по закону N(0,1) случайных величин. Сходится ли по вероятности (и если сходится, то к чему)

Yn =

1 n

n ∑ k=1

|Xk| ?

Решение.   Наряду с данной последовательностью {X_n} рассмотрим последовательность {|X_n|}. Нетрудно убедиться в том, что {|X_n|} есть последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с конечным математическим ожиданием:

M[|Xk|] =

∞  ∫ -∞

|x|

1 √2π

exp{-x2/2} dx =

√

2 π

Поэтому по закону больших чисел для независимых и одинаково распределенных случайных величин

1 n

n ∑ k=1

|Xk| →

√

2 π

по вероятности. Кстати, теорема Колмогорова позволяет заключить, что в данном случае имеет место и более сильная сходимость - сходимость почти наверное.

Выход в меню занятия