Типовая задача 12.1

Задача 1.   Пусть X₁,X₂, ... , X_n ,... - последовательность независимых случайных величин, причем для каждого n = 1,2,... величина X_n имеет следующее дискретное распределение вероятностей:

Xn	0	1
P	1 - 1/nα	1/nα

(α - заданное положительное число). Доказать, что данная последовательность сходится по вероятности к 0. Сходится ли она к нулю почти наверное?

Решение.   Нужно доказать, что для всякого ε > 0

Второй вопрос, касающийся сходимости почти наверное, несколько сложнее. Приведем (без доказательства) два утверждения, которые часто используются при решении подобных вопросов.

Утверждение 1.   Если для всякого ε > 0

+∞ ∑ n=1

P{|Xn - X| ≥ ε} < ∞ ,

то последовательность {X_n} сходится к X почти наверное. Заметьте, что здесь несущественно, зависимы или независимы члены последовательности {X_n}.

Утверждение 2.   Если случайные величины X₁, X₂, X₃ , ... , X_n ,... независимы, C - постоянная величина, и хотя бы для одного ε > 0

+∞ ∑ n=1

P{|Xn - C| ≥ ε} = ∞ ,

то последовательность {X_n} не сходится к C почти наверное. В рассматриваемой нами задаче члены последовательности {X_n} независимы и в качестве гипотетического предела выступает постоянная 0. Следовательно, применимы оба утверждения. Имеем:

+∞ ∑ n=1

P{|Xn - C| ≥ ε} =

+∞ ∑ n=1

P{Xn = 1} =

+∞ ∑ n=1

1 nα

При α > 1 полученный ряд сходится, а при 0 < α ≤ 1 - расходится. Таким образом, рассматриваемая последовательность {X_n} при α > 1 сходится к 0 почти наверное, а при 0 < α ≤ 1 - не сходится к 0 почти наверное (хотя и сходится по вероятности).

Выход в меню занятия