Типовая задача 10.2

Задача 1.   В условиях типовой задачи 10.1:

1) Найти условное распределение величины Y при условии, что X = x;

2) Вычислить условное математическое ожидание и условную дисперсию величины Y при условии, что X = x.

Решение.   1) Искомые условные плотности вероятности f1(x|y) и f2(y|x) находятся по общим формулам
f1(x|y) = f(x,y)
f2(y)		 ,   f2(y|x) = f(x,y)
f1(x)
при условии, что знаменатели приведенных дробей отличны от нуля; в случае обращения f1(x) и f2(y) в нуль, соответствующая условная плотность полагается равной нулю. В рассматриваемом случае при X = x величина Y изменяется (с вероятностью 1) в пределах от -(1 - |x|) до 1 - |x| (см. рис.1).

Рисунок 1
Рисунок 1

При этом, считая |x| ≤ 1 и используя результат вычисления f1(x) в типовой задаче 10.1, получаем:
f2(y|x) =  1/2
1-|x|		 =    1
2(1-|x|)		 .
Следует подчеркнуть, что, говоря об условной плотности вероятности f2(y|x), мы рассматриваем ее как функцию аргумента y; переменная x при этом выступает в роли параметра. Полученный результат показывает, что f2(y|x) на участке от -(1 - |x|) до 1 - |x| ведет себя как постоянная функция; вне указанного интервала она равна 0. Итак,
f2(y|x) = {     1
2(1-|x|)
0 ,
, если |y| ≤ 1 - |x|;

если |y| > 1 - |x|.
График функции f2(y|x) приведен на рис.2.

Рисунок 2
Рисунок 2

2) Как мы видим, условное распределение величины Y при условии X = x - это равномерное распределение на отрезке [-(1 - |x|); 1 - |x|]. Поэтому соответствующие ему математическое ожидание и дисперсия могут быть определены по следующим формулам:
M[Y|X = x] = -(1 - |x|) + (1 - |x|)
            2		 = 0;
D[Y|X = x] = [(1 - |x|) + (1 - |x|)]2
            12		 = (1 - |x|)2
    12		 .




Выход в меню занятия

Hosted by uCoz