Типовая задача 10.1

Задача 1.   Случайный вектор col(X,Y) распределен равномерно в квадрате |x| + |y| ≤ 1

Рисунок 1
Рисунок 1

1) Найдите частные распределения величин X и Y.

2) Вычислите математическое ожидание, ковариационную и корреляционную матрицы вектора col(X,Y).

3) Исследуйте величины X и Y на некоррелированность и независимость.

Решение.   Равномерное распределение вектора col(X,Y) в квадрате |X| + |Y| ≤ 1 - это распределение с плотностью вероятности
f(x,y) = { 1 / 2 , если |x| + |y| ≤ 1,
0 , если |x| + |y| > 1
(1/2 - это величина, обратная площади S = 2 данного квадрата).

1) Пусть f1(x) и f2(x) - плотности вероятности случайных величин X и Y соответственно. Тогда в соответствии с общими формулами,
f1(x) =  +∞
 ∫
-∞		 f(x,y) dy ,     f2(x) =  +∞
 ∫
-∞		 f(x,y) dx .
При вычислении первого интеграла заметим, что f1(x) = 0 при |x| > 1, поскольку в этом случае f(x,y) = 0. Поэтому в дальнейшем мы будем считать, что |x| ≤ 1. Дальнейшие трудности носят чисто технический характер и связаны с преобразованиями интегралов. Мы сделаем лишь одну подсказку: верхняя половина контура квадрата имеет уравнение y = -|x| + 1, а нижняя - уравнение y = |x| - 1. Имеем (при |x| ≤ 1):
f1(x) =  +∞
 ∫
-∞		 f(x,y) dy = -|x|+1
 ∫
|x|-1		 1
2		 dy = 1 - |x|.
Итак,
f1(x) = { 1 - |x| , если |x| ≤ 1,
0 , если |x| > 1
График функции f1(x) представлен на рис.2.

Рисунок 2
Рисунок 2

Обратите внимание на то, что величина X имеет не равномерное распределение, хотя вектор col(X,Y) распределен равномерно (внутри квадрата). Аналогично получается и комментируется плотность вероятности f2(x). Впрочем, никаких выкладок можно не производить, достаточно сослаться на "равноправное", симметричное сочетание величин X и Y:
f2(x) = { 1 - |y| , если |y| ≤ 1,
0 , если |y| > 1
График этой функции приведен на рис.3.

Рисунок 3
Рисунок 3

2) Плотности вероятности f1(x) и f2(y) симметричны относительно точек x = 0 и y = 0 соответственно. Поэтому

M[X] = M[Y] = 0.
Далее, имеем:
D[X] = M[X2] =  +∞
 ∫
-∞		 x2f1(x) dx =   1
 ∫
 -1		 x2(1 - |x|) dx = 2   1
 ∫
  0		 x2(1 - x) dx = 1
6		 .
Аналогично,
D[Y] = 1
6		 .
С учетом того, что M[X] = M[Y] = 0, далее, получаем
kXY = M[XY] =  
 ∫∫
 		 xyf(x,y) dx dy =  
  ∫∫
|x|+|y|≤1		 1
2		 xy dx dy =
= 1
2		   1
 ∫
x=-1		 x( -|x|+1
 ∫
|x|-1		 y dy) dx = 1
2		   1
 ∫
 -1		 x•0 dx = 0 .
Итак, вектор col(X,Y) имеет математическое ожидание col(0,0) и ковариационную матрицу
K = [ 1 / 6
0		   0
  1 / 6		 ] .
Отсюда, в свою очередь, вытекает, что корреляционной матрицей этого вектора служит единичная матрица
R = I = [ 1
0		   0
  1		 ] .

3) Полученный выше результат показывает, что X и Y - некоррелированные величины. Однако они зависимы, поскольку условие независимости

f(x,y) = f1(x)f2(y)
в данном случае не выполняется:
1
2		 ≠ (1 - |x|)(1 - |y|) .




Выход в меню занятия

Hosted by uCoz