Занятие №9: Типовая задача 9.1

Типовая задача 9.1

Задача 1. Совместное распределение случайных величин X и Y представлено таблицей:

Y
X -1 0 1

-1 1 / 8 1 / 12 7 / 24

1 1 / 3 1 / 6 0

1) Найдите частные распределения величин X и Y.

2) Вычислите математическое ожидание, ковариационную и корреляционную матрицы вектора col(X,Y).

3) Исследуйте величины X и Y на независимость и некоррелированность.

Решение.

1) Пусть p_ij = P{X = x_i, Y= y_j}, где x_i пробегает значения -1 и 1, а y_i - значения -1, 0 и 1. Введем обозначения:

P_{i •} = P{X = x_i}, P_{• j} = P{Y = y_j}. Имеют место следующие формулы:

P_{i •} =

∑
^j

p_ij, P_{• j} =

∑
ⁱ

p_ij.

В частности,

P_{1 •} = P{X = -1} =

(это сумма тех вероятностей, которые в таблице расположены в строчке, соответствующей событию X = -1). Аналогично

P_{2 •} = P{X = 1} =

+ 0 =

(это сумма тех вероятностей, которые в таблице расположены в строчке, соответствующей событию X = 1). Конечно, вероятность P_{2 •} могла бы быть вычислена и из условия P_{1 •} + P_{2 •} = 1. Таким образом, случайная величина X имеет следующее распределение вероятностей:

X	-1	1
P	1 / 2	1 / 2

Далее,

P_{• 1} = P{Y = -1} =

(это сумма тех вероятностей, которые в таблице расположены в столбце, соответствующем событию Y = -1). Аналогично

P_{• 2} = P{Y = 0} =

P_{• 3} = P{Y = 1} =

+ 0 =

Таким образом, случайная величина Y имеет следующее распределение вероятностей:

Y	-1	0	1
P	11 / 24	6 / 24	7 / 24

2) Математические ожидания и дисперсии величин X и Y легко находятся из полученных частных распределений этих величин:

M[X] = (-1) 1
2 + 1 1
2 = 0;

M[X²] = (-1)² 1
2 + 1² 1
2 = 1;

D[X] = M[X²] - (M[X])² = 1;

M[Y] = (-1) 11
24 + 0 6
24 + 1 7
24 = - 1
6 ;

M[Y²] = (-1)² 11
24 + 0² 6
24 + 1² 7
24 = 3
4 ;

D[Y] = M[Y²] - (M[Y])² = 13
18 .

Ковариация K_XY величин X и Y может быть подсчитана по следующей общей формуле

K_XY = M[XY] - M[X]M[Y].

Имеем:

M[XY] =
∑
^i,j x_iy_ip_ij = (-1)(-1) 1
8 + (-1)0 1
12 + (-1)1 7
24 +

+ 1(-1) 1
3 + 1•0 1
6 + 1•1•0 = - 1
2 .

Следовательно,

K_XY = - 1
2 - 0(- 1
6 ) = - 1
2 .

Тем самым завершено вычисление ковариационной матрицы K вектора col(X,Y):

K = [ 1
-1/2 -1/2
13/18 ] .

Корреляционная (или нормированная ковариационная) матрица R рассматриваемого вектора col(X,Y) имеет элементы

r_ij = k_ij
_____
____
√k_ii k_jj ,

где k_ij - соответствующие элементы ковариационной матрицы K. Простые вычисления дают:

R = [ 1
-3/√26 -3/√26
1 ] .

Коэффициент корреляции -3/√26 по модулю не близок к 1, что исключает линейную зависимость между величинами X и Y.

3) Поскольку K_XY = -1/2 ≠ 0, величины X и Y - коррелированны, и тем более - зависимые. Отметим, что зависимость величин X и Y могла бы быть установлена и другим способом. Известно, что необходимым и достаточным условием независимости дискретного случайного вектора col(X,Y) является условие

p_ij = P_{i •} P_{•
j}

(для всех допустимых i и j). В рассматриваемом примере

p₁₁ = P_{1 •} P_{• 1} , [ 1
8 ≠ 1
2 11
24 ] ,

а этого уже достаточно, чтобы объявить о зависимости случайных величин X и Y.

Типовая задача 9.1

Выход в меню занятия