Типовая задача 8.3

Задача 1.   Известно, что ξ ~ E(λ). При каком значении параметра λ вероятность P{1 < ξ < 2} будет: а) наименьшей; б) наибольшей?

Решение.  

P{1 < ξ < 2} =

2 ∫ 1

λe-λx dx = e-λ - e-2λ = H(λ).

Нам предстоит выяснить, при каких значениях λ функция H(λ) на участке λ > 0 принимает свои экстремальные значения. Найдем критические точки этой функции:

H'(λ) = -e-λ + 2e-2λ ;   e-λ = 2e-2λ ;

-λ = ln 2 - 2λ ;   λ = ln 2 .

В этой точке функция H(λ) достигает максимума. Действительно,

H''(λ) = e-λ - 4e-2λ ;

H''(ln 2) = e-ln 2 - 4e-2 ln 2 =

1 2

- 4

1 2

= -

1 2

< 0.

Итак, своего максимального значения вероятность P{1 < ξ < 2} достигает при λ = ln 2. Что же касается минимального значения, то оно при 0 < λ < ∞ нигде не достигается. Можно лишь заметить, что оно "достигается в пределе" при λ → 0 и при λ → ∞:

l i m λ→0

P{1 < ξ < 2} =

l i m λ→∞

P{1 < ξ < 2} = 0.

Выход в меню занятия