Занятие №7: Типовая задача 7.3

Типовая задача 7.3

Задача 1. Случайное число ξ лиц, обращающихся в справочное бюро в течение часа, распределение Пуассона с параметром λ. Для каждого из них вероятность отказа равна p. Найдите закон распределения и среднее значение числа η лиц, получивших в течение часа отказ.

Решение. По условию

P{ξ = k} = λ^k
k! e^-λ (k = 0, 1, 2, ... ) .

Для нахождения вероятности P{η = m} воспользуемся формулой полной вероятности:

P{η = m} = _∞
∑
^k=m P{η = m|ξ = k} P{ξ = k}.

Очевидно, что

P{η = m|ξ = k} = C_k^mp^mq^k-m (m = 0, 1, ... , k).

Следовательно,

P{η = m} = _∞
∑
^k=m C_k^mp^mq^k-m λ^k
k! e^-λ =

= _∞
∑
^k=m k!
m!(k-m)! 1
k! e^-λ(λp)^m(λq)^k-m = 1
k! (λp)^me^-λ _∞
∑
^r=0 (λq)^r
r! =

= 1
k! (λp)^me^-λe^λq = (λp)^m
m! e^-λp .

Полученный результат

P{η = m} = (λp)^m
m! e^-λp (m = 0, 1, 2, ... )

свидетельствует о том, что случайная величина η имеет распределение Пуассона с параметром λp, и, следовательно,

M[η] = λp.

Эту задачу можно было бы решить несколько короче, если воспользоваться примером 1 из раздела 3 лекции 5. Предложенное же решение по-своему важно и интересно.

Типовая задача 7.3

Выход в меню занятия