Типовая задача 6.1

Здесь представлены простейшие задачи на использование формулы Бернулли для вычисления вероятности P_n(m) ровно m "успехов" в n опытах.

Задача 1.   Что вероятнее: выиграть у равносильного противника три партии из четырех или пять партий из восьми (ничьи в отдельных партиях исключены)?

Решение.   Пусть p - вероятность выигрыша, а q = 1 - p - вероятность проигрыша одной партии, тогда по формуле Бернулли

Pn(m) = Cnmpmqn-m

есть вероятность ровно m выигрышей в турнире из n партий. По условию задачи p = 1/2. Для такого значения p требуется сравнить вероятности P₄(3) и P₈(5). Имеем:

P4(3) P8(5)

=

C43(1/2)3(1/2) C85(1/2)5(1/2)3

= 24

C43 C85

= 8 / 7 > 1.

Следовательно, P₄(3) > P₈(5).

Итак, у равносильного противника легче выиграть три партии из четырех, чем пять партий из восьми. Обратите внимание на то, что три партии из четырех (первая задача) - это 75%, а пять партий из восьми (вторая задача) - это лишь 62,5% играемых партий. В "процентном отношении" вторая задача легче первой. В целом же она сложнее: в ней несколько меньший успех должен быть достигнут в условиях более продолжительного и, стало быть, более трудного соревнования.

Выход в меню занятия