 |
Типовая задача 3.3 |
|
Типовая задача 3.3 |
В этом разделе будет рассмотрено несколько простейших задач из теории надежности. Будем исходить из того, что всякое техническое устройство (отдельный блок, система в целом) по прошествии некоторого времени функционирования T выходит из строя, или "отказывает". Для всякого значения t ≥ 0 события T ≥ t (устройство проработает безотказно не менее, чем t единиц времени) и t > T (к моменту времени t устройство выйдет из строя) являются случайными событиями. Вероятность P(T ≥ t) называется функцией надежности устройства и обозначается P(t). В некоторых прикладных задачах представляет интерес вопрос о работоспособности устройства в течение заданного времени T0. В частности, отказ устройства в самом начале работы и отказ по прошествии времени T0 / 2 рассматривается как одно и то же - отказ, поскольку поставленная цель (нормальное функционирование устройства в течение времени T0) не выполняется ни в том, ни в другом случае. Вероятность P(T ≥ T0) = P(T0) в указанном случае называется надежностью устройства и обозначается просто p. Одной из важнейших прикладных задач является отыскание надежности всей системы по данным о надежности отдельных составляющих ее устройств (блоков).
Задача 1. 1) Техническая система состоит из
n блоков, связанных между собою по
схеме последовательного соединения:
Это означает, что выход из строя любого блока приводит к отказу всей системы.
Заданы надежности p1, p2, ... ,
pn отдельных блоков. Считается, что
каждый блок работает нормально или выходит из строя независимо от остальных блоков. Чему равна надежность всей системы?
2) надежность технического устройства равна
p. Для повышения этой надежности часто используют резервирование
устройства. С этой целью к основному устройству по схеме параллельного соединения подключают
n - 1 таких же резервных
устройств: В результате получается система из n параллельных и одинаково надежных устройств, работающих независимо
друг от друга. Такая система находится в работоспособном состоянии, если работоспособно хотя бы одно из
n
устройств. Какова надежность всей системы?
Решение. 1) Пусть P - надежность всей системы, то есть вероятность того, что в течение заданного времени
функционирования T0 система не выйдет из строя. Такое возможно в том и только в том случае, если в течение этого
времени безотказно работают и 1-й, и 2-й, и 3-й, ... , и
n-й блоки. Отсюда получаем
Схема 1)
Схема 2)
В частности, если p1 = p2 = ... = pn = p, то
Понятно, что чем больше блоков надежности p содержит система, тем меньше ее надежность.
2) Совсем просто находится "ненадежность" данной системы. Ведь эта система выходит из строя тогда и только тогда, когда выходит из строя каждое из n образующих ее устройств. Вероятность этого, очевидно, равна (1 - p)n. Следовательно, искомая надежность P системы равна
