 |
Типовая задача 11.3 |
Задача 1. Плотность вероятности
случайного вектора
col(X1, X2) такова:
f(x1,x2) = A•exp;{-4(x1 - 5)2 +
2(x1 - 5)(x2 + 3) - (x2 + 3)2} ,
где A - неизвестный нормирующий коэффициент. Найдите:
1) коэффициент A;
2) математическое ожидание и
ковариационную матрицу вектора
col(X1, X2);
3) вероятность P{2X1 - 3X2 < 20}.
Решение. Приведем данную плотность вероятности к
стандартному виду.
Прежде всего выделим под знаком экспоненты множитель 1/2:
| f(x1,x2) = A•exp;{- |
1
2 |
[8(x1 - 5)2 - 4(x1 - 5)(x2 + 3) +
2(x2 + 3)2]} . |
Матрица C квадратичной формы, заключенной в квадратных скобках, равна:
Она совпадает с матрицей K-1, обратной к
ковариационной матрице к рассматриваемого вектора
col(X1, X2). Следовательно,
| K = C-1 = |
1
12 |
[ |
2
2 |
|
2
8 |
] |
= |
1
6 |
[ |
1
1 |
|
1
4 |
] |
. |
Итак, для рассматриваемого вектора col(X1,
X2) имеем:
| m = |
[ |
5
-3 |
] |
, K = |
1
6 |
[ |
1
1 |
|
1
4 |
] |
. |
Тем самым решен 2-ой вопрос задачи. Первый вопрос решается соотношением:
| A = |
√ |
1
(2π)2det(K) |
= |
√ |
det(C)
(2π)2 |
, |
которое в данном случае дает:
Для решения третьего вопроса воспользуемся тем, что величина
2X1 - 3X2,
как линейная комбинация составляющих нормально распределенного вектора,
распределена нормально. Поэтому ее распределение полностью задается ее математическим
ожиданием и дисперсией. Имеем (по известным
свойствам математического ожидания и
дисперсии):
M[2X1 - 3X2] = 2M[X1] -
3M[X1] =
2•5 - 3(-3) = 19 ;
D[2X1 - 3X2] = 4D[X1] +
9D[X2] - 12cov[X1, X2].
Значения D[X1], D[X2] и
cov[X1, X2] берем из найденной
выше ковариационной матрицы K:
| D[2X1 - 3X2] = 4 |
1
6 |
+ 9 |
4
6 |
- 12 |
1
6 |
= |
14
3 |
. |
Итак, 2X1 - 3X2 ~ N(19,14/3). Следовательно,
| P{2X1 - 3X2 < 20} = Φ{ |
20-19
√14/3 |
} = Φ {√3/14} ≈ Φ(0,4629) ≈ 0,6782 . |
