 |
Типовая задача 11.1 |
Задача 1. Известно, что X1 и
X2 - независимые
случайные величины, причем
X1 ~ R(0,1),
X2 ~ Bi(n = 100, p = 1/2).
Пусть
Y1 = X1 + 2X2,
Y2 = X1 - 4X2.
Найти ковариацию и
коэффициент корреляции величин
Y1 и Y2.
Решение. По известным свойствам
математического ожидания,
а также свойствам равномерного и биномиального распределения
| M[Y1] = M[X1] + 2M[X2] = |
1
2 |
+ 2•100 |
1
2 |
= 100,5 ; |
| M[Y2] = M[X1] - 4M[X2] = |
1
2 |
- 4•100 |
1
2 |
= -199,5 . |
Далее, найдем M[Y1Y2], используя условие независимости
величин X1 и X2:
M[Y1Y2] = M[(X1 +
2X2)(X1 - 4X2)] = M[X12] -
2M[X1]M[X2] - 8M[X22]
Как известно, для любой случайной величины X с конечным вторым моментом
D[X] = M[X2] - (M[X])2 .
Следовательно,
M[X2] = D[X] + (M[X])2 .
Вспоминая формулы для математического ожидания и дисперсии равномерного и
биномиального распределений, получаем:
| M[X12] = D[X1] +
(M[X1])2 = |
1
12 |
+ |
1
4 |
≈ 0,3 ; |
| M[X22] = D[X2] +
(M[X2])2 = 100 |
1
2 |
1
2 |
+ (100 |
1
2 |
)2 = 2525 . |
Следовательно,
| M[Y1Y2] ≈ 0,3 - 2 |
1
2 |
(100 |
1
2 |
) - 8•2525 = - 20249,7 . |
После этого можно найти ковариацию величин Y1 и
Y2 : cov[Y1,Y2] =
M[Y1Y2] - M[Y1]M[Y2] ≈ -20249,7 - 100,5(-199,5) = -199,95 .
Для нахождения коэффициента корреляции величин
Y1 и Y2 нужно предварительно
найти дисперсии этих величин. По известным свойствам дисперсии,
учитывая, что величины X1 и X2 независимы, находим:
D[Y1] = D[X1 + 2X2] =
D[X1] + 4D[X2] =
| = |
1
12 |
+ 4(100 |
1
2 |
1
2 |
) ≈ 100,06 ; |
D[Y2] = D[X1 - 4X2] =
D[X1] + 16D[X2] =
| = |
1
12 |
+ 16(100 |
1
2 |
1
2 |
) ≈ 400,06 ; |
Таким образом, величины Y1 и Y2 имеют следующий коэффициент корреляции:
ρ = |
cov[Y1,Y2]
___________
__________
√D[Y1]D[Y2] |
= - |
199,95
√100,06•400,06 |
≈ -0,999 . |
Достаточная (с точки зрения практических вычислений) близость коэффициента
корреляции ρ k -1 наводит на мысль, что величины
Y1 и Y2 связаны почти
линейно (с отрицательным коэффициентом в линейной зависимости). Этот
результат трудно было заметить после вычисления ковариации
cov[Y1,Y2] ≈ -199,95.
Тем самым мы лишний раз убеждаемся в пользе такого понятия, как коэффициент
корреляции. Следует отметить, что полученный результат нетрудно было предугадать
еще до проведенных вычислений. Дело в том, что из двух величин
X1 и X2 в
выражениях Y1 = X1 + 2X2 ,
Y2 =
X1 - 4X2 величина X2 явно "преобладает"
над величиной X1 (вспомните, что 0 ≤
X1 ≤ 1, а M[X2] = 50).
Поэтому в первом (и практически не очень грубом) приближении можно считать, что
что приводит к приближенному равенству
Y2 ≈ -2Y1 .
А это и объясняет, почему ρ ≈ -1.
Любопытно, что "наиболее серьезная" теория вероятностей здесь началась
(хотя и на интуитивном, приближенном уровне) после всех громоздких вычислений.
Вообще, обсуждение полученных результатов при решении задач по теории
вероятностей часто оказывается более плодотворным (с точки зрения овладения
этой наукой), чем само решение задачи.
