Типовая задача 1.3

При решении задач раздела 1.3 приходится иметь дело с размещениями из n элементов по m и теоремой умножения для чисел случаев.

Теорема 1. (умножения для чисел случаев).   Пусть какую-то часть элементов вектора x = (x₁, x₂, ... , x_n) можно выбрать r способами, а остаток - s способами. Тогда весь вектор может быть выбран r•s способами.

Размещением из n элементов по m называется упорядоченное подмножество множества из n элементов, содержащее ровно m элементов. Число размещений обозначается как A_n^m и вычисляется по формуле

Anm =

n! (n-m)!

.

Задача 1.   Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 наугад составляется трёхзначное число (без повторяющихся цифр). Какова вероятность того, что составленное число будет чётным?

Решение.   Прежде всего укажем общее число трёхзначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 (без повторения):

Сколько же среди них таких, которые оканчиваются чётной цифрой? Попытаемся составить такое число. На третьем месте нужно поставить одну из цифр 2, 4; следовательно, последнюю цифру искомого трёхзначного числа можно выбрать двумя способами. После того как эта цифра будет выбрана, оставшиеся две цифры мы сможем выбрать в любом порядке из числа не использованных четырёх цифр. Это можно осуществить таким числом способов: A₄² = 4*3. В соответствии с теоремой умножения для чисел случаев общее число способов составления четного трёхзначного числа

Таким образом, по классической формуле вероятность интересующего нас события A будет

P(A) =

M N

=

2*4*3 5*4*3

=

2 5

.

Полученная вероятность совпадает с вероятностью того, что при произвольной перестановке цифр 1, 2, 3, 4, 5 на третьем месте окажется чётная цифра (см. типовую задачу раздела 1.2). Это нетрудно было предвидеть, но успех в решении вероятностных задач обычно приходит к тем, кто обладает для этого более солидным арсеналом средств.

Выход в меню занятия