Предисловие

---

Вниманию читателей предлагается учебно-справочное пособие по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика" (ТВ и МС), который автор читал в течение многих лет на различных факультетах Московского государственного авиационного института (МАИ), используя учебные программы, стандартные для большинства ВУЗов. Кроме того, автору довелось читать лекции в ряде зарубежных университетов, в частности, в Мичиганском университете. Поэтому у него была возможность сравнить методики преподавания математических дисциплин в России и за границей и взять из них лучшее. В последнее время между преподавателями ВУЗов шла оживленная дискуссия о возможных преимуществах западной методики. Сразу же подчеркнем, что автор придерживается точки зрения, которая традиционна для русской математической школы, а именно: объяснение материала должно проходить при поступательном движении от сложного к простому, от абстрактных теорем к практическим примерам. Стоит заметить, что американская методика преподавания прямо противоположна принятой у нас в стране и основана на решении огромного количества прикладных задач на первом этапе обучения. Российская методика позволяет изложить студентам за ограниченное аудиторное время значительно больший по объему материал. При этом изложение оказывается более лаконичным и математически эстетичным, оно сориентировано, как бы, на "сильного" студента. Поэтому, на на взгляд автора, нет смысла от нее отказываться. В целом, пособие отличается от известных своим многоцелевым назначением. При его написании была сделана попытка совместить, казалось бы, несовместимые требования: 1) лаконичность изложения, свойственную конспекту лекций; 2) детальное доказательство всех утверждений и наличие многочисленных примеров, характерных для учебников; 3) систематизированный и автономно замкнутый материал, присущий справочникам; 4) наличие формализованных ссылок на установленные ранее свойства и введенные понятия, что характерно для компьютерных учебников. Насколько эта попытка удалась автору -- судить читателю.

Несколько слов более подробно об этих отличительных чертах. Весь курс разделен на 16 тем, которые соответствуют примерно 16 лекциям продолжительностью 2 часа. Это более или менее стандартный объем курса ТВ и МС для экономических и технических специальностей. Весь материал удалось разместить на 7 п.л., не считая приложения, и он построен так, как будто его записал внимательный студент, слушая реальные лекции. Стоит заметить, что объем известных учебников по ТВ и МС достигает 25 п.л. Так как эти учебники содержат информацию, выходящую за рамки стандартной учебной программы, то студентам, оказывается, как правило, не под силу самостоятельно найти интересующий их материал или разобраться в нем. По мнению автора, в лаконично изложенном пособии, имеющем структуру конспекта лекций, студентам значительно проще сориентироваться. Кроме того, если курс читается по данному пособию, то студентам не требуется записывать ``живые'' лекции -- они уже имеются, а на лекциях остается лишь прояснить непонятые вопросы. Большинство учебников по ТВ и МС отличается от предлагаемого еще и тем, что начинающему преподавателю, даже с хорошей математической подготовкой, очень сложно прочитать по ним реальный курс лекций. Это связано с тем, что в учебниках нет дробления материала на последовательные лекции, и поэтому при ограниченном их числе преподавателю бывает трудно решить какие разделы ТВ и МС следует прочитать, а какие нет, не нарушая при этом стройность изложения.

Данная книга содержит чуть больше материала, чем необходимо для прочтения 16 лекций. В частности, все утверждения доказываются так же аккуратно, как в хорошем учебнике, но в реальных лекциях некоторые из них могут быть опущены по усмотрению лектора. Более того, детальность доказательств позволяет студенту самостоятельно изучить материал, не читавшийся на лекции. В обычном учебнике при доказательстве теорем часто используются понятия или свойства, которые были введены или установлены в предыдущих разделах и главах. При этом молчаливо предполагается, что студент усвоил весь предыдущий материал и он все помнит. К сожалению, это предположение на практике не всегда выполняется. И тогда студенту, встретившему ссылку на материал, который он не помнит, остается перечитать весь учебник заново, либо отложить его в сторону. В предлагаемом пособии вывод каждой формулы сопровождается не абстрактными отсылками к предыдущим разделам, а четкими ссылками на изученные свойства и введенные понятия. Например, запись:

D[X]

6)mx   =

M[X2] - m2X

означает, что приведенное соотношение основано на 6-м свойстве математического ожидания случайной величины. В пособии присутствует сравнительно немного подобных символических объектно-ориентированных сокращений, тем не менее, с ними лучше познакомиться заранее, до начала чтения пособия. Для удобства читателя, все сокращения, символические записи и основные обозначения сведены вместе и приведены в приложении. Следует отметить, что большинство учебников по ТВ и МС, опубликованных в нашей стране, либо вообще не содержит прикладных примеров, либо эти примеры имеют однобокую (например, военную) окраску. Но, очевидно, что для эффективного использования на практике полученных теоретических знаний студент должен уметь самостоятельно строить математические модели для конкретных прикладных задач. С этой точкой зрения, которой придерживаются американские преподаватели математики, трудно спорить. По этой причине в данное пособие вставлены разнообразные примеры технического и экономического характера, позволяющие студенту глубже понять физический и экономический смысл изучаемого им курса. Например, объясняется чем отличается линейная регрессионная модель по прогнозированию мировых цен на нефть, построенная с позиции нефтедобывающих стран, от модели, построенной с позиции нефтеперерабатывающих компаний.

Пособие имеет четкую иерархическую структуру, роднящую его со справочниками. Например, только предметный указатель занимает 0,5 п.л. В книге нет ``вольного'' текста, каждая информация содержится в каком-нибудь блоке, названном замечанием, примером, теоремой или свойствами. Таким образом, каждая лекция состоит из разделов, названия которых вынесены в оглавление, а каждый раздел состоит из этих блоков. В каждом разделе нумерация блоков является автономной. Поэтому ссылки из последующих разделов на предыдущие выглядят, например, следующим образом: Л2.Р2.З1 (Лекция 2, Раздел 2, Замечание 1).

На основании данного пособия разработан компьютерный учебник, который позволяет мгновенно находить вышеотмеченные ссылки и получать многочисленные комментарии и пояснения. Комментарии можно получить как из оглавления и предметного указателя, так и из самого текста. Более детально с возможностями компьютерного учебника можно познакомиться в [3]. Несколько непривычный вид пособия вызван отчасти тем, что он является твердой копией своей компьютерной версии.

При написании книги автор ориентировался на известные учебники по ТВ и МС. В частности, многие технические примеры взяты из [7], экономические примеры из [10], а парадоксальные примеры из [8]. Лаконичность изложения в книгах [9], [6] служила образцом для автора. Большая часть справочного материала заимствована из [5]. Полнота материала в учебниках [7], [2], видимо, трудно повторима. Следует отметить, что настоящее пособие является не первой попыткой изложить курс ТВ и МС в таком виде. Автор в своей работе в значительной мере опирался на предшествующую версию [4]. Но новое пособие было написано практически заново, в него были включены новые примеры (биржевой парадокс и др.), усилена строгость изложения материала и при этом сокращен объем пособия за счет исключения из него разделов, связанных со случайными процессами, так как они, как правило, не читаются в стандартном курсе ТВ и МС.

Автор благодарит Ю.С. Кана и А.Н. Сиротина за полезные замечания, позволившие улучшить качество пособия, а М.А. Ячменникову и Е.А. Кузнецова - за помощь в подготовке рукописи.